No tan complejos

HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados, por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar. Al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades. Pero al medir magnitudes como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones. Pero los griegos descubrieron que habían cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número extiende más allá, ya que los griegos no aceptaban que hubieran números menores que el cero. Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales. Los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, rechazaban el uso de números negativos por la falta de un equivalente dentro de la geometría que para ese momento era el centro de la matemática. El surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas. Más adelante con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.

En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matemático, físico y filósofo italiano, publica ”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un método para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convertía asú en el mayor tratado de álgebra desde los Babilónicos, 3000 años antes, que dedujeron cómo resolver la ecuación cuadrática.

René Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apuntó también que toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de ellas.

En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente, que debía haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para muchos. La representación geométrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand. No obstante sería la referencia de Gauss de 1831 la que tendría el impacto suficiente. En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera definición algebraica rigurosa de los complejos como pares de números reales.

Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los números complejos ya han desaparecido, aunque haya textos del siglo XX que aún huían de utilizarlos. La presencia de los números complejos en diversas áreas de las matemáticas en este siglo puede ser clasificadas de manera muy genérica de la siguiente forma:

a) ALGEBRA. La solución de ecuaciones algebraicas motivó la introducción de los números complejos. Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado donde muchos problemas de álgebra lineal y otras áreas del álgebra abstracta encontraron solución.

b) ANALISIS. El siglo XIX fue testigo del desarrollo de una poderosísima y bellísima rama de las matemáticas, la teoría de funciones complejas. Uno de los elementos más sorprendentes es que la condición de diferenciable implica la de infinitamente diferenciable, hecho sin análogo en las funciones reales.

c) GEOMETRIA. Los números complejos introdujeron generalidad y propiedades de simetría en varias ramas de la geometría, tanto en la euclídea como la no eucl´ıdea.

d) TEORIA DE NUMEROS. Ciertas ecuaciones diofánticas pueden ser resueltas con el uso de complejos. Hadamard decía que ”el camino más corto entre dos verdades en el campo real pasa a través del campo complejo”.

UNIDAD IMAGINARIA

i=√-1  o i2=-1

NÚMERO COMPLEJO

Es un número que tiene dos partes, una real y una imaginaria; se simboliza con la letra z; y puede escribirse de varias maneras

Forma binómicaForma cartesianaForma gráficaForma trigonométrica o polar
z=a+bi(a;b)

Forma gráfica

z=ρ cis θ

Donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Igualdad de números complejos en forma binómica

a+bi=c+di si y solo si a=c y b=d

OPUESTO Y CONJUGADO

El opuesto de un número complejo es el número que se obtiene de cambiar el signo tanto de la parte real y como de la parte imaginaria.

El conjugado de un número complejo se obtiene manteniedo el signo de la parte real y cambiando el de la parte imaginaria.

MÓDULO

 

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (z1=a+bi, z2=c+di)

ADICIÓN

z1+z2=(a+bi)+(c+di)

              =(a+c)+(b+d)i

Parte real+Parte real

Parte imaginaria+Parte imaginara

SUSTRACCIÓN

z1-z2=(a+bi)-(c+di)

=(a+bi)+(-c-di)

        =(a-c)+(b-d)i

MULTIPLICACIÓN

z1*z2=(a+bi)*(c+di)

=ac+adi+bci+bdi2

=ac+adi+bci-bd

=(ac-bd)+(ad+bc)i

DIVISIÓN

El cociente de dos números complejos es otro número complejo que se obtiene multiplicando el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor (proceso similar a la racionalización)

 

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Bienvenidos, al curso escolar 2017-2018, este será diferente a lo que ustedes estaban acostumbrados. Aprovechando las ventajas de las nuevas tecnologías nos adentraremos en los saberes de la Matemática.

Con la asignatura Matemática 12mo Grado concluye la Matemática Básica. Esta abarca tres unidades de estudio. Ellas son:

  • COMBINATORIA Y PROBABILIDADES
  • NÚMEROS COMPLEJOS
  • GEOMETRÍA DEL ESPACIO

    Con este blog pretendemos que seas responsable de tu propio aprendizaje y que juntos desandemos los caminos de la Matemática.

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    Estudiantes y profesores, del colegio de preparatoria. Con el Doctor Honoris Causa en Pedagogía Juan Virgilio López Palacios

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